复利、费用与实际购买力

赚到的钱不取出来、接着参与下一轮增长，就是复利。期间没有往账户里追加、也没有往外取钱时：

期末金额 = 期初金额 ×（1 + 第一期收益率）×（1 + 第二期收益率）× ……

如果每年的收益率都为r，持续n年，公式就能缩成"期初金额×（1+r）^n"。各年的收益率不同，就逐年相乘。分红留在账户里再投资，就按含分红的总回报来算；取走的分红算作取款，单独记。

复合年化收益率 =（期末金额÷期初金额）^(1/n) − 1。

n表示以年为单位的实际持有时长，例如18个月为1.5年；期间收益留在账户，没有外部追加或取款。复合年化将这段增长或亏损，换算成每年相同的变化率。

算术平均是另一回事：它只对各期百分比求平均，不管每期的本金变了多少。比如100元第一年涨50%、第二年跌50%，最后剩 75 元，账面上少了四分之一。可两期的百分比一平均，正好是零。算复合年化，结果约为 −13.40%。账户里有过追加、赎回的，按基金净值与个人投资收益把每笔钱的金额和日期都记下来，才能算得准。

费用先掏掉一部分当期余额，剩下的本金才继续滚——所以它影响的还不止扣掉的那一下。教学设定为每年先取得收益r，再按年末资产收比例 f 的费用，税款为零：

一年扣费后的增长因子 =（1+r）×（1−f）。

按这一设定持续n年、中间不加钱不取钱，期末金额就是"期初金额×[(1+r)×(1−f)]^n"。真实的基金按自己的合同收费：基数、频率、金额都有约定，照约定算。20 年里不同费率差多少，见年化收益看着不错，最后到底留下多少？。

管理费、托管费这类是直接从基金资产里计提的，早就体现在净值里了。你拿这份净值算收益时，别再重复扣一遍。而申购费、赎回费、账户费用这些是交易时另掏的腰包，记进实际现金流。每笔费用各归各的位置，账才清楚。

扣完费用税款之后的名义收益率是 r，同期比较的那一篮子商品与服务涨价了 π：

实际收益率 =（1+r）÷（1+π）− 1。

算笔账：投入 10000 元，一年增长 6%，年末按资产抽 1% 的费用，税款为零，期末余额是 10494 元。如果同一篮子消费涨了 3%，这 10494 元折回期初的购买力是 10494÷1.03≈10188.35 元。账户的名义净收益率为4.94%，扣除物价变化后的实际购买力增长约1.88%。

比较多年购买力时，把每年的价格增长因子连乘起来，再用期末金额除以这段累计的价格变化。家里买了什么、买了多少、生活质量变没变，这类消费安排的变化要单独记，别和涨价搅在一起；该选哪个物价指标，见物价指标与家庭购买力。

• 先弄清资产回报是怎么来的：股票回报与买入价格。
• 把账户的结果接回家庭积累：货币、收入与财富。
• 开始用资产支付生活费：退休支出与资产提取。

按顺序看投资与核算这些问题，见投资回报怎样变成实际收益。